Cos(5x) et sin(5x) - Corrigé

Énoncé

Soit \(x \in \mathbb{R}\) . Exprimer \(\cos(5x)\) et \(\sin(5x)\) en fonction de \(\cos(x)\) et de \(\sin(x)\) .

Solution

D'après la formule de Moivre , \((\cos(x)+i\sin(x))^5=\cos(5x)+i\sin(5x)\) .
On en déduit que \(\cos(5x)=\text R\text e\left[(\cos(x)+i\sin(x))^5\right]\) et que  \(\sin(5x)=\text I\text m\left[(\cos(x)+i\sin(x))^5\right]\) .

D'après la formule du binôme de Newton,
\(\begin{align*}(\cos(x)+i\sin(x))^5& = \cos^5(x)+5\cos^4(x)i\sin(x)+10\cos^3(x)(i\sin(x))^2\\& \quad +10\cos^2(x)(i\sin(x))^3+5\cos(x)(i\sin(x))^4+(i\sin(x))^5\\& = \cos^5(x)+5i\cos^4(x)\sin(x)-10\cos^3(x)\sin^2(x)\\& \quad -10i\cos^2(x)\sin^3(x)+5\cos(x)\sin^4(x)+i\sin^5(x).\end{align*}\)
On en déduit que :

• \(\cos(5x)=\cos^5(x)-10\cos^3(x)\sin^2(x)+5\cos(x)\sin^4(x)\)  ;
• \(\sin(5x)=5\cos^4(x)\sin(x)-10\cos^2(x)\sin^3(x)+\sin^5(x)\) .